赌场中的概率学

2017-01-04 fishedee 数学

1 概述

赌场中的概率学，用概率的角度看赌博，很有意思

2 赔率与概率

为什么赌场每次都是纯挣钱，没有一年亏的呢，而进入赌场的人基本上就是十赌九输？有人说是风水，有人说是赌场作弊，有人说是命运。但答案没有这么玄乎，甚至还很简单，因为赌场作为庄家，它在概率上是占优的。例如，在赌场上的赌大小游戏中，有以下的游戏规则。

下注 说明 赔率
大 大 : 总点数 11 至 17 ( 遇围骰庄家通吃 ) 1 赔 1
小 小 : 总点数为 4 至 10 ( 遇围骰庄家通吃 ) 1 赔 1
围骰 投注指定的围骰 ( 如 1 围骰 ) ，一定开出 3 颗所投注的骰子 1 赔 150
全围 3 颗骰子都一样 1 赔 24

虽然买大和买小都是1赔1，但是当出现围骰的时候，买大买小的人都全输，所有钱都会交给庄家。所以，买大买小的胜率不是50%，而是48.61%，开围骰的概率为2.78%。从庄家的角度看，玩家大量长期的投注大小比例大概就是1:1，从这个玩家输掉的钱，迟早都会从另外一个玩家中赢回来。而2.78%的概率我能两方全吃掉。所以，如果赌场一年的流水有100亿，2.78%就有2.78亿盈利，非常可观而且稳定的盈利。

3 本钱与破产

因为赔率与概率的微小差距，就可以让赌场挣到溢出来的盈利。但是，这并不能解释，像在拉斯维加斯的赌场中，大部分都是均衡赌博的。也就是说，赔率与概率是一样的，可赌场依然挣得盘满钵满，这又是为什么呢？

按照古典概率的说法，如果有A,B两个人赌大小，输的人给对方1元，那么显然，在第n次连续赌博以后，A手上的钱期望是跟B手上的钱是一样的。

可是，我们都忽略了一个现实的问题。赌钱是需要本钱的！！！

假设A，B两个人，A手上有100万，B手上只有5元。两个人依然赌大小，输的人给赢的人1元。如果谁先没钱了，谁就滚蛋。那么在连续赌博100次以后，问A和B成为最终赢家的概率有多大。

很显然，从直觉来看，A成为赢家的概率要大得多，因为B很有可能一次连输5把就完蛋了，后面即使有机会连赢甚至翻盘都没有机会了，因为已经没有本钱了。从现代概率学的随机过程来解释这个过程，A成为赢家的概率大概为

\[ P = \frac {1000000} {1000000+5} = 99.999996 \]

所以，即使赌场的游戏中，赔率跟概率是一样的，但是，你和赌场之间的本钱有非常大的差距。你可能在连输几十把后就破产了，但是赌场需要连输几亿把才会破产，造成你赌博提前出局的风险要比他要大得多。虽然大家都是玩同样的盘数n，但你有可能在远少于这个n时就破产了，导致丧失了继续翻盘的机会。

另外，我们可以进一步推导出

  • 当有限本钱的玩家赌得越大时，他输的概率越大。因为这样他输得越多，他和赌场之间的本钱差就会越大，概率就会更偏向于赌场。
  • 当有限本钱的玩家赌得越多时，他输的概率越大。因为连续黑天鹅的发生概率变得越多，他的本钱就越容易接近被破产，概率就会越倾向于赌场。

这就是，人们常说的，为什么玩得越多输得越多，玩得越大输得越大的根本原因。所以，只有赌博双方都是一样本钱时，这个赌博游戏才是真正公平的。或者，只有赌场允许玩家可以无限赊账时，这个赌博游戏才是真正公平的。

4 翻倍策略

可能，你会说，我可以用翻倍赌的方法来套利，例如开始下注1万，输了下注2万，然后4万，8万，直接盈了为止。嗯，不是说不可以，可是，你知道7次连续输掉以后你的下注本金就已经高达128万了，只需要有一次高达10次的连续输掉，你就会输掉你的所有身家（当然，只是假设你只有128万身家的情况下），而这样的几率大概为1%。

破产概率=（每次都输掉的概率）^7
=(1-0.48)^7
=0.0102

所以，每天都只玩一次这种玩法的话，你破产的概率大概为每三个月一次。而且，即使你在第7次胜利了，你会发现你的合计盈利只有最开始的1万元

获利金钱=2^7-(2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0)
=2^7-(2^7-1)
=1

而且，从公式可以看出，即使你钱和马云一样多，能支撑到15次才翻盘（这时的下注本金已经高达1.658亿），你的整体盈利也只有1万元。也就是投入1.658亿元才盈利1万元，想想都觉得很逗逼。

而且，赌场还有个让这种策略无法行通的关键：每个赌博位置都是有投注下限和上限的。你在这里连输了7次后，你继续想在这里翻倍投注，那对不起，这里不允许投注超过128万的，也就是不给你玩了。

翻倍赌的失败之处在于

  • 指数式的投注增长让你的投注本金飞速增长，在盈利之前你很有可能已经没有本金了。
  • 期望盈利率很低，大额的本金增长并没有改变你最大盈利最多只有第一次投注的钱，也就是1万元，投资回报率非常低。
  • 由于赌场规则，这种方法玩到一半时，你就必须要换台，导致概率重新计算。

5 总结

所以，在赌场中，最佳的策略是

  • 优惠卷套利，利用赌场派发的优惠卷进行无风险套利，这个在之前的《套利》一文中说过。
  • 小额固定投注，明知道赔率与概率有差，明知道本钱有差，也要玩一把，就当是碰碰运气吧，要让每次的投注都是小额固定的，即使连输十多把，也要淡定地小额固定投注。这样才会让赌场的赢面降到最小，真正地靠运气。

另外，运用本钱与破产的原理，我们也可以这么玩：

  • 去一些麻将小场子，每个玩家大多都只有200，300的本钱下，你拿着十多万进行和她们就玩最纯粹最公平的赌大小（50%），你会比那些小本钱的人有大得多的赢面。

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