5 重积分

5.1 二重积分

5.1.1 二重积分的定义

设f(x,y)为有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域$\Delta \sigma$(i=1,2,$\cdots$,n),$\Delta \sigma_i$既表示第i个小闭区域本身又表示它的面积。在每个$\Delta \sigma_i$上任取点$(\xi_n,\eta_n)$。当$\Delta \sigma_i(i=1,2,\cdots,n)$中最大直径$\lambda$趋向于零时，若$\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i$的极限存在，则称此极限值为函数f(x,y)在区域D上的二重积分，记作$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma$，即

\[ \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i \]

其中称f(x,y)为被积函数，$f(x,y)\Delta \sigma$为积分表达式，$d\sigma$为面积元素，x,y为积分变量，D为积分区域，$\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma$为积分和。这时也称f(x,y)在D上可积

从定义中可以看出，二重积分跟一元积分的定义基本相同，只是积分的区域从坐标轴上的直线，变成坐标平面上的平面。

5.1.2 二重积分的性质

满足像一元积分上的

线性叠加性
区域可加性
单调性
估值不等式
积分中值定理

5.2 二重积分的计算

5.2.1 直角坐标系的X型区域

设二重积分$\iint\limits_{D} f(x,y)d\sigma$的积分区域D可表示为

\[ a<=x<=b,\varphi_1(x)<=y<=\varphi_2(x) \]

的形式，其中$\varphi_1(x),\varphi_2(x)$在$[a,b]$上连续，这时称区域D为X型区域。则这个二重积分的值为

\[ \iint\limits_{D} f(x,y)d\sigma = \int_{a}^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\right]dx \]

5.2.2 直角坐标系的Y型区域

设二重积分$\iint\limits_{D} f(x,y)d\sigma$的积分区域D可表示为

\[ c<=y<=d,\varphi_1(y)<=x<=\varphi_2(y) \]

的形式，其中$\varphi_1(y),\varphi_2(y)$在$[c,d]$上连续，这时称区域D为Y型区域。则这个二重积分的值为

\[ \iint\limits_{D} f(x,y)d\sigma = \int_{c}^d\left[\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)}f(x,y)dx\right]dy \]

5.2.3 极坐标系

在直角坐标系与极坐标系中，有以下变换

\[ \begin{cases} x = rcos\theta \\ y = rsin\theta \\ \end{cases} \]

则直角坐标系中的二重积分可转换为

\[ \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma = \iint\limits_{D}f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta \]

当积分区域D在极坐标系中可以表示为

\[ \alpha <= \theta <= \beta,\varphi_1(\theta)<=r<= \varphi_2(\theta) \]

其中$\varphi_1(\theta),\varphi_2(\theta)$在$[\alpha,\beta]$上连续，则

\[ \iint\limits_{D}f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta = \int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(rcos \theta,rsin \theta)rdr \]

5.2.4 一般换元法

设变量替换

\[ u = u(x,y),v=v(x,y) \]

将Oxy平面上的闭区域D一一对应变到Ouv平面上的闭区域$D'$。如果函数u,v内具有连续偏导数，且

\[ \frac {\partial (u,v)} {\partial (x,y)} = \begin{vmatrix} \frac {\partial u} {\partial x} & \frac {\partial u} {\partial y} \\ \frac {\partial v} {\partial x} & \frac {\partial v} {\partial y} \\ \end{vmatrix} \neq 0 \]

则存在逆变换

\[ x = x(u,v),y=y(u,v) \]

且f(x,y)在区域D的二重积分为

\[ \iint\limits_{D} f(x,y)dxdy=\iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))\lvert \frac {\partial(x,y)} {\partial(u,v)}\rvert dudv \]

注意行列式里面的变量位置，以及外部的绝对值符号。

5.3 三重积分

5.3.1 三重积分的定义

设f(x,y,z)为空间有界闭区域$\Omega$上的有界函数，将闭区域$\Omega$任意分成n个小闭区域$\Delta v_i(i=1,2,\cdots,n)$,$\Delta v_i$既表示第i个小区域本身又表示它的体积。在每个$\Delta v_i$上任取点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i$的极限存在，则称此极限值为函数$f(x,y,z)$在区域$\Omega$上的三重积分，记作$\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dv$，即

\[ \iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv = \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i \]

其中称f(x,y,z)为被积函数，f(x,y,z)dv为积分表达式，dv为体积元素，x,y,z为积分变量，$\Omega$为积分区域，$\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i$为积分和，这时也称函数$f(x,y,z)$在区域$\Omega$上可积

从定义中可以看出，三重积分是二重积分的扩展，将二重积分的积分区域从平面扩展到了立方体。所以，整个三重积分的图像是无法用图像画出来的，因为它是四维空间。

5.3.2 三重积分的性质

跟二重积分是一样的

5.4 三重积分的计算

5.4.1 直角坐标系的先一后二法

设三重积分$\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$的积分区域$\Omega$可如下表示

\[ z_1(x,y)<=z<=z_2(x,y)，(x,y)\in D_{xy} \]

则

\[ \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dv = \iint\limits_{D_{xy}}dxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz \]

5.4.2 直角坐标系的先二后一法

设三重积分$\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$的积分区域$\Omega$可如下表示

\[ c_1<=z<=c_2，(x,y)\in D_z \]

则

\[ \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dv = \int_{c_1}^{c_2}dz\iint\limits_{D_z} f(x,y,z)dxdy \]

5.4.3 柱面坐标系

在直角坐标系与极坐标系中，有以下变换

\[ \begin{cases} x = rcos\theta ,0 <= r < +\infty\\ y = rsin\theta , 0 <= \theta < 2\pi\\ z = z,-\infty < z <+\infty \end{cases} \]

则直角坐标系中的三重积分可转换为

\[ \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \iiint\limits_{\Omega'}f(rcos\theta,rsin\theta,z)rdrd\theta dz \]

注意柱面坐标系的变换实质上就是将Oxy平面变成了极坐标系而已

5.4.4 球面坐标系

在直角坐标系与球面坐标系中，有以下变换

\[ \begin{cases} x = rsin\varphi cos\theta ,0 <= r < +\infty\\ y = rsin\varphi sin\theta , 0 <= \theta < 2\pi\\ z = rcos\varphi, 0=< \varphi <\pi \end{cases} \]

则直角坐标系中的三重积分可转换为

\[ \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz = \iiint\limits_{\Omega'}f(rsin\varphi cos\theta,rsin\varphi sin\theta,rcos sin\varphi)r^2sin\varphi drd\theta d \varphi \]

注意柱面坐标系的变换中$\varphi$的取值范围是$[0,\pi)$，而不是$[0,2\pi)$，这是真正意义上的将整个极坐标系推广到三维中来

5.4.6 一般换元法

设变量替换

\[ x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),(u,v,w) \in \Omega' \]

将Ouvw空间中的闭区域$\Omega'$一一对应地变为Oxyz空间的闭区域$\Omega$，若函数x,y,z在$\Omega'$内具有连续的偏导数，且

\[ J = \frac {\partial (x,y,z)} {\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} \frac {\partial x} {\partial u} &\frac {\partial x} {\partial v} & \frac {\partial x} {\partial w} \\ \frac {\partial y} {\partial u} &\frac {\partial y} {\partial v} & \frac {\partial y} {\partial w} \\ \frac {\partial z} {\partial u} &\frac {\partial z} {\partial v} & \frac {\partial z} {\partial w} \\ \end{vmatrix} \neq 0 \]

则有三重积分可变为

\[ \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_{\Omega'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\lvert J \rvert dudvdw \]

6 曲线和曲面积分

6.1 曲线积分

6.1.1 第一类曲线积分

设函数f(x,y)在Oxy平面的光滑曲线弧L上有界，将L任意分成n段小弧段$\Delta s_i(i=1,2,\cdots,n)$，$\Delta s_i$既表示第i段小弧段本身又表示它的长度。在每段$\Delta s_i$上任取$M_i(\xi_i,\eta_i)$。当$\lambda = \max\limits_{1<=i<=n}{\Delta s_i}$趋向于零时，若$\sum\limits_{i=1}^{b}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$的极限存在，则称此极限值为函数$f(x,y,z)$在曲线弧L上对弧长的曲线积分，或第一曲线积分，记做$\int\limits_{L}f(x,y)ds$，即

\[ \int\limits_{L} f(x,y)ds = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{b} f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i \]

其中弧ds称为弧微分，f(x,y)为被积函数，L为积分曲线，特别地，当曲线弧L封闭时，我们将曲线积分记为$\oint\limits_{L}f(x,y)ds$

从定义中可以看出，曲线积分是一元积分的推广，其将一元积分的坐标轴的积分区域，推广到二元中的曲线。而推广以后，积分区域对象为弧长。

6.1.2 第二类曲线积分

设L为Oxy平面上从点A到点B的一条有向光滑曲线弧。函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界。在L上沿L的方向用点$M_1(x_1,y_1),\cdots,M_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$将L任意分成n段有向的小弧段$\widehat{M_{i-1},M_i}(i=1,2,\cdots,n;M_0=A,M_n=B)$，记相应的长度为$\Delta s_i$。记作$\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y = y_i-y_{i-1}$。任取$(\xi_i,\eta_i)\in \widehat{M_{i-1},M_i}(i=1,2,\cdots,n)$，当$\lambda = \max\limits_{1<=i<=n}{\Delta s_i}$趋向于零时，若$\sum\limits_{i=1}^{n}[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i]$的极限存在，则称此极限值为函数$P(x,y)$在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作$\int\limits_{L}P(x,y)dx$。类似地，若$\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}[Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i]$存在，则称此极限值为函数$Q(x,y)$在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记作$\int\limits_{L}Q(x,y)dy$，即

\[ \int\limits_{L}P(x,y)dx = \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i \\ \int\limits_{L}Q(x,y)dy = \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i \\ \]

其中称P(x,y),Q(x,y)为被积函数，L为积分曲线，这两个积分也被称为第二类积分曲线。

从定义中可以看出，第二类曲线积分也是一元积分的推广，其不仅将一元积分的坐标轴的积分区域，推广到二元中的曲线。而且，推广以后，从第一类曲线积分的弧长积分对象，变为坐标的积分对象。

6.2 格林公式

6.2.1 定理

若平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，则有

\[ \oint\limits_{L}Pdx+Qdy =\iint\limits_{D}(\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y})dxdy \]

其中L是D的取正向的边界曲线，也被称为格林公式，这公式有时也记为

\[ \oint\limits_{L}Pdx+Qdy = \iint_{D}\begin{vmatrix} \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial} {\partial y} \\ P & Q \\ \end{vmatrix}dxdy \]

注意，这个定理是对光滑曲线有效的，其指出了对区域D的积分，只需要沿着曲线弧走一圈就好了，相当神奇和奇妙。或者说，要对曲线进行积分，只需要对区域D进行积分就好了。

6.2.2 证明

假设区域D既是X型区域也是Y型区域

\[ \iint\limits_{D} \frac {\partial Q} {\partial x} dx dy = \int_{c}^{d} dy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} \frac {\partial Q} {\partial x} dx \\ = \int_{c}^{d} dy\left.[Q(x,y)]\right\vert_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} \\ = \int_{c}^{d}[Q(\varphi_2(y),y)-Q(\varphi_1(y),y)]dy \\ = \int_{c}^{d}Q(\varphi_2(y),y)dy - \int_{c}^{d}Q(\varphi_1(y),y)dy \\ = \int_{\widehat{CBE}}Q(x,y)dy - \int_{\widehat{CAE}}Q(x,y)dy \\ = \int_{\widehat{CBE}}Q(x,y)dy +\int_{\widehat{EAC}}Q(x,y)dy \\ = \oint_{\widehat{CBEAC}}Q(x,y)dy \]

同理，可证得

\[ -\iint_{D} \frac {\partial P} {\partial y} dxdy = \int_{L} P(x,y)dx \]

组合两条方程即可求得原解，所以得证

6.2.3 几何意义

格林公式实质上是对一元的牛顿-莱布尼茨公式的推广

牛顿-莱布尼茨公式为

\[ \int_{a}^{b} f'(x)dx = f(b) - f(a) \]

改成偏导数的形式为

\[ \int_{a}^{b} \frac {\partial f} {\partial x} dx = f(b) - f(a) \]

从几何意义上，这个定理的意思是，要求两点的函数值的差值$f(b)-f(a)$，不需要去取这两点的值，而是去将这个函数变为变化率的函数$f'(x)$，然后去求$f'(x)$在$(a,b)$上的积分。因为，这两个函数值的差值归根到底是，是因为每一点的函数值变化量叠加而成的。所以，将这两点的所有变化量相加，就是它们之间的差值。这就将函数值差值与积分联系在一起了。同时，反过来说，要求一个函数的积分，我们可以计算这个函数的原函数，也就是将$(-\infty,a)$之间的所有变化量之和，减去$(-\infty,b)$之间的所有变化量即可。从维度的角度上看，牛顿-莱布尼茨公式将二维的运算（算面积）降维到一维上运算（算坐标差值）。

\[ -\iint\limits_{D} \frac {\partial Q} {\partial y} dx dy = \int\limits_{L} P(x,y)dx \]

所以，格林公式为什么能实现降维或升维的运算。因为，假设要对一个闭合曲线L进行第二类曲线积分。按照定义，我们可以从头到尾走一遍曲线。可是，走法我们可以换一个做法。

我们从$x_1$走到$x_2$，每次扫上下的两个点$y_1(x)与y_2(x)$，在一个极小的范围$x_n$内，很明显，上下两个点的积分方向是相反的。我们只需要将这两点的函数值相减就可以了，也就是，这两点的曲线积分为

\[ \int\limits_{L} P(x,y)dx = \int_{x_1}^{x_2} P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))dx \]

从牛顿-莱布尼茨公式知道，我们可以将这两点差值这样的一维运算升到二维上，就是求函数变化量的积分。

\[ \int_{x_1}^{x_2} [P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))]dx = \int_{x_1}^{x_2} dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \frac {\partial P} {\partial y} dy \]

所以整合原方式，就可以得到结果了。这就是格林公式的直观理解，这也是为什么不用走区域内部，只走区域边界走可以算出整个积分的原因。总结起来就是，因为积分被看作函数的变化量，求原函数的差值就可以省掉了中间逐点求积分的过程。

6.3 曲面积分

6.3.1 第一类曲线积分

设$\Sigma$为光滑或分片光滑曲面，f(x,y,z)为在$\Sigma$上的连续函数，将$\Sigma$上任意分成n个小曲面$\Delta S_i(i=1,2,\cdots,n)$,$\Delta S_i$既表示第i个小曲面又表示它的面积。在每个$\Delta S_i$上任取点$M_i(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$。记$d_i$为小曲面$\Delta S_i$的直径。当$\lambda = \max\limits_{1<=i<=n}\{d_i\}$趋向于0时，若和式$\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$的极限存在，则称此极限值为函数f(x,y,z)在曲面$\Sigma$上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作$\iint_{\Sigma} f(x,y,z)dS$，即

\[ \iint_{\Sigma} f(x,y,z)dS = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i \]

其中称dS为面积微元，f(x,y,z)为被积函数，$\Sigma$为积分曲面。特别地，定义中当曲面$\Sigma$封闭时，对面积的曲面积分记为$\unicode{x222F}_{\Sigma}f(x,y,z)dS$

很明显，第一类曲面积分是第一类曲线积分在三维上的推广

6.3.2 第二类曲线积分

设$\Sigma$为有向光滑或分片光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在$\Sigma$上有界。将$\Sigma$分成n个小曲面$\Delta S_i(i=1,2,\cdots,n)$，$\Delta S_i$同时也表示第i块小曲面的面积。在每个$\Delta S_i$上任取点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$。记曲面$\Delta S_i$的直径为$d_i$。当$\lambda = \max\limits_{1<=i<=n}\{d_i\}$趋向于0是。若和式$\sum\limits_{i=1}^{n} R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$的极限存在，则称此极限值为函数R(x,y,z)在曲面$\Sigma$上对坐标x,y的曲面积分，记作$\iint_{\Sigma} R(x,y,z)dxdy$，即

\[ \iint\limits_{\Sigma} R(x,y,z) dxdy = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy} \]

若和式$\sum\limits_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{yz}$的极限存在，则称极限值为函数P(x,y,z)在曲面$\Sigma$上对坐标y,z的曲面积分，记作$\iint\limits_{\Sigma} P(x,y,z)dydz$，即

\[ \iint\limits_{\Sigma} P(x,y,z)dydz = \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{yz} \]

若和式$\sum\limits_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xz}$的极限存在，则称极限值为函数P(x,y,z)在曲面$\Sigma$上对坐标x,z的曲面积分，记作$\iint\limits_{\Sigma} Q(x,y,z)dxdz$，即

\[ \iint\limits_{\Sigma} Q(x,y,z)dxdz = \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xz} \]

以上三种积分也被称为第二类曲面积分，其中称P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为积函数，$\Sigma$为积分曲面。

从定义中可以看出，第二类曲面积分是第二类曲线积分的推广。要注意分割的每一个小曲面，是和这个小曲面在不同平面的投影相乘累加，而不是直接和这个小曲面的面积相乘累加。

6.4 高斯公式和斯托克斯公式

6.4.1 高斯公式

设空间闭区域$\Omega$由分片光滑的闭曲面$\Sigma$所围成，函数$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$\Omega$上具有连续的一阶偏导数，则

\[ \unicode{x222F}Pdydx+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_{\Omega}(\frac {\partial P} {\partial x} + \frac {\partial Q} {\partial y} + \frac {\partial R} {\partial z})dxdydz \]

这个定理的意思就是求一个三重积分（体积）不需要跑完里面所有的小方块，只需要沿着表面（面积）走一圈取样就可以了。这个也是格林公式在三维上的推广，也是一个降维或升维的计算公式。证明与格林公式类似，故略。

6.4.2 斯托克斯公式

设$\Gamma$为分段光滑的空间有向闭曲线，$\Sigma$是以$\Gamma$为边界的有向分片光滑曲面，$\Sigma$的正向与$\Sigma$的指定侧复合右手法则，函数$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$\Sigma$上具有连续的一阶偏导数，则

\[ \iint\limits_{\Sigma}(\frac {\partial R} {\partial y} - \frac {\partial Q} {\partial z})dydz + (\frac {\partial P} {\partial z} - \frac {\partial R} {\partial x})dzdx + (\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y})dxdy = \oint_{\Gamma} Pdx+Qdy+Rdz \]

这个定理是将二维的格林公式推广到三维来，只是仍然是曲线与面积的关系，曲线从二维曲线推广到三维曲线而已，适用范围更大。为了更好的记忆，我们一般用行列式的方式

\[ \iint_{\Sigma}\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac {\partial} {\partial x} & \frac {\partial} {\partial y} & \frac {\partial} {\partial z} \\ P & Q & R \\ \end{vmatrix} = \oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz \]

6.4.3 散度

设向量场为A(x,y,z)为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)，称$\frac {\partial P} {\partial x} + \frac {\partial Q} {\partial y} + \frac {\partial R} {\partial z}$为向量场的散度，记作$div A$，即

\[ div A = \frac {\partial P} {\partial x} + \frac {\partial Q} {\partial y} + \frac {\partial R} {\partial z} \]

所以，高斯公式可以变为

\[ \iiint_{\Omega} div A dv = \unicode{x222F}_{\Sigma} A_n dS \]

散度从几何意义上看是该点在向量场的源头强度

散度大于0，这点M总体流出，称为源
散度等于0，这点M总体不流动
散度小于0，这点M总体吸收，称为汇

从物理意义上说，在一个封闭曲面中，中间放着一个小灯泡，问单位时间内曲面接收到的光能有多少。其流出去的光能实际上等于封闭曲面包成的封闭球体与光能散度的积分。也就是，向量场A通过闭曲面$\Gamma$流向外侧的通量等于向量场A的散度在$\Gamma$所围闭区域$\Omega$的积分。

6.4.4 旋度

设向量场A=(P,Q,R)，称向量$(\frac {\partial R} {\partial y} - \frac {\partial Q} {\partial z},\frac {\partial P} {\partial z} - \frac {\partial R} {\partial x},\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y})$为向量场A的旋度，记为$rotA$，即有

\[ rot A = (\frac {\partial R} {\partial y} - \frac {\partial Q} {\partial z},\frac {\partial P} {\partial z} - \frac {\partial R} {\partial x},\frac {\partial Q} {\partial x} - \frac {\partial P} {\partial y}) \]

为了便于记忆，旋度也用行列式来表示

\[ rot A = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac {\partial} {\partial x} & \frac {\partial} {\partial y} & \frac {\partial} {\partial z} \\ P & Q & R\\ \end{vmatrix} \]

所以，斯托克斯公式可以表示为

\[ \iint_{\Sigma} rot A dv = \oint_{\Gamma} A dl \]

从物理意义上说，这个定理是说，在一个引力场中，绕着一条闭曲线L所做的功等于闭曲线L包成的封闭曲面与引力场旋度的积分。也就是，向量场A沿有向闭曲线$\Sigma$的环流量等于向量场A的旋度通过$\Gamma$所张的曲面$\Sigma$的通量。

7 无穷级数

7.1 无穷级数

7.1.1 无穷级数的定义

给定无穷数列

\[ u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots \]

将这无穷多个数加起来，则称和式

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n = u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots \]

为无穷级数，或数项级数

7.1.2 无穷级数收敛性的定义

对于无穷级数，称

\[ s_n = \sum\limits_{k=1}^{n} u_k = u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots(n=1,2,\cdots,n) \]

为它的前n项和。如果该数列有极限，即存在常数s，使

\[ s = \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} u_k \]

则称该级数是收敛的，极限值s称为该级数的和，可记为

\[ s = \sum\limits_{k=1}^{\infty} u_k \]

如果$\lim\limits_{n \to \infty} s_n$不存在，则称该级数是发散的。

注意，无穷级数的收敛跟数列的收敛是不一样的，数列收敛要求的是数列的第n项收敛于某个数，无穷级数的收敛是数列的前n项和收敛于某个数。例如，调和数列是数列收敛的，但不是无穷级数收敛的。

7.2 无穷级数的性质

7.2.1 数列零收敛性

若级数是收敛的，则它的一般项必趋向于零，即若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则$\lim\limits_{n \to \infty}u_n = 0$

定理是显然的，因为如果收敛于某个常数a，那么和值必然大于na，造成整个和式都是无穷递增，不可能收敛的。这个定理也说明了，收敛级数不可能是递增级数。

7.2.2 子项无关收敛性

在级数中任意去掉、增加或改变有限项而得到的新级数与原级数敛散性相同，即新级数的敛散性不变。

直接套定义就能证明了，这个定理说明了无穷级数的敛散性主要跟无穷项有关，跟有限项没有关系。注意，这个定理只是说敛散性不变，但收敛的极限是变了的。

7.2.3 加法敛散性

如果级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$分别收敛于$s,\sigma$,则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (u_n \pm v_n)$也收敛，且其和为$s+\sigma$。

依然是直接套定义就能证明了。

7.2.4 数乘敛散性

设C是非零常数，则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} Cu_n$敛散性相同，且收敛时

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} Cu_n = C \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n \]

依然是直接套定义就能证明了。

7.2.4 括号收敛性

如果级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，其和为s，则对该级数的项任意加括号得到的新级数

\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} U_k = (u_1+\cdots+u_{n_1}) + (u_{n_1+1}+\cdots+u_{n_2}) + \cdots \]

也收敛且其和为仍为s

显然，直接套定义也可以了。注意，这个定理反过来是不对的，加括号后的收敛，不代表原级数也收敛。

7.3 正项级数的收敛性

7.3.1 正项级数的定义

若$u_n>=0(n=1,2,\cdots)$，则称级数

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 +u_2 +\cdots +u_n+\cdots \]

为正项级数

就是每一项都是非负数的无穷级数了

7.3.2 上界收敛性

正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$收敛的充分必要条件是它的部分和数列$\{s_n\}$有上界

证明：

因为每一项都是正数，所以$s_n$是递增数列，同时因为$s_n$有上界，所以根据递增有上界数列必有极限定理，$s_n$必有上界，证得充分性。

另外，因为$s_n$有极限A，所以随便取一个$\epsilon$，就可以算$s_n<=A+\epsilon$了，所以$s_n$必有上界，证得必要性。

7.3.3 级数比较法

设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$都是正项级数，且$u_n<=v_n(n=1,2,\cdots)$，则下列结论成立

若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$也收敛
若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$发散，则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$也发散

证明：

\[ \because \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n 收敛 \\ \therefore \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n <=A \\ \because u_n<=v_n(n=1,2,\cdots)\\ \therefore \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n <= \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n \\ \therefore \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n <= A \\ \therefore \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n 收敛 \]

所以证得第一点，第二点用反证法就可以了，其实第二点就是第一点换个说法而已，说的是同一个意思。注意，这里的定理要求级数必须是正项级数才成立的。因为对于一个徘徊于0和1的交错级数，它是有上界的，但它不是有极限的。

一般用p级数来做比较

7.3.4 级数极限比较法

设$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$都是正项级数，如果

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac {u_n} {v_n} = l (0<l<+\infty) \]

则级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$的敛散性相同。

证明：

从极限的定义中可以看出，当n>N时，$u_n$与$v_n$的距离仅仅会小于一个$\frac l 2$，所以

\[ \lvert \frac {u_n} {v_n} \rvert < \frac l 2 \\ l - \frac l 2 < \frac {u_n} {v_n} < l +\frac l 2 \\ \frac {l} {2} v_n < u_n < \frac {3l} {2} v_n \]

所以证得敛散性相同

一般用p级数来做比较，这里比比较法要更好用，因为极限的无穷小比较可以不断地用洛必达法则，相当好算。这里很多时候也是用p级数做比较。

7.3.5 达朗比尔审敛法

若正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$的后项与前项之比的极限等于$\rho$,即$\lim\limits_{n \to \infty} \frac {u_{n+1}} {u_n} = \rho$，则

当$\rho < 1$时，该级数收敛
当$\rho > 1$，包括$\rho = \infty$时，该级数发散
当$\rho = 1$，此审敛法失效，即该级数可能收敛，也可能发散。

这个定理从直观意义来看，当$\rho < 1$时，每个级数的收敛速度比p级数还要快，所以根据p级数收敛的性质，这个级数也收敛。证明的话也是直接套极限定义就可以了。

这个定理更好用，只需要比较前后项就可以了，甚至连p级数比较都省掉了

7.3.6 柯西审敛法

对于正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$，若一般项$u_n$的n次方根的极限等于$\rho$，即$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}=\rho$，则

当$\rho<1$时，该级数收敛
当$\rho>1$，包括$(\rho=\infty)$时，该级数发散
当$\rho=1$时，该级数可能收敛，也可能发散

证明略，这个方法对于去带次方的敛散性相当好用。

7.4 交错级数的收敛性

7.4.1 交错级数的定义

设对一切自然数n，都有$u_n>0$，则级数

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n = u_1 - u_2+u_3-u_4+\cdots \]

或

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n = -u_1 + u_2-u_3+u_4-\cdots \]

称为交错级数

注意，这个定义要求是一正一负交替出现的，不能是几个正一个负这样出现的。

7.4.2 莱布尼茨审敛法

如果交错级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}u_n$ 满足:

数列$\{U_n\}$单调递减，即对一切自然数n，都有$u_n>=u_{n+1}$
$\lim\limits_{n \to \infty}u_n = 0$

则称交错级数收敛，且其和少于等于$u_1$

从直观来看，这个数列是单调递增的，但又少于第一项，所以有上界，固它是有极限的。

7.5 绝对收敛

7.5.1 绝对收敛的定义

如果级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \lvert u_n \rvert$收敛，则称级数$_{n=1}^{} u_n $绝对收敛
如果级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，而级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \lvert u_n \rvert$发散，则称级数$_{n=1}^{} u_n $条件收敛

7.5.2 绝对收敛法则

如果级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$绝对收敛，则该级数必收敛

证明:

令$v_n=\lvert u_n \rvert +u_n$ 显然$v_n>=0$ 又$v_n <= 2\lvert u_n \rvert$且$u_n$绝对收敛所以$v_n$收敛又$u_n = v_n - \lvert u_n \rvert$ 所以$u_n$也收敛，得证

证明的方法非常巧，注意我们不能从$u_n<=u_n $，所以$u_n$收敛，因为$u_n$不是正项级数，不能直接使用比较收敛法。所以证明中通过构造$v_n$来绕过了这个问题，非常巧。

另外，这个方法也是用来确定正负号的收敛性的常用办法。因为莱布尼茨的条件太窄了，要求正负号必须交错出现，所以这个方法适用范围要更广。

8 幂级数

8.1 幂级数

8.1.1 函数项级数的定义

给定定义在区间I上的函数列

\[ u_1(x),u_2(x),\cdots,u_n(x),\cdots \]

则由这个函数列构成的表达式

\[ u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x) \]

称为定义在区间I上的函数项级数。记为$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$，其中$u_n(x)$称为一般项或通项

从定义中可以看出，函数项级数是无穷项级数的推广，x为级数的参数。

8.1.2 幂级数的定义

形如

\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n = a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots +a_n(x-x_0)^n+\cdots \]

的函数项级数，称为$(x-x_0)$的幂级数，其中常数$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$称为幂级数的系数。

注意，系数都是常数，n挂在了右上角的指数上

8.2 幂级数的收敛性

8.2.1 阿贝尔定理

如果点$x_0(x_0 \neq 0)$是幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n$的收敛点，则对于适合不等式$x < x_0 $的一切x，该幂级数都绝对收敛。而如果点$x_0(x_0 )$是幂级数$_{n=0}^{} a_nx^n$的发散点，则适合不等式$x > x_0 $的一切x，该级数都发散。

证明：

因为$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx_0^n$收敛所以$\lim\limits_{n \to \infty} a_nx_0^n=0$ 因此存在常数M，使得$\lvert a_nx_0^n \rvert< M$（注意这里是说每一项都少于某个常数M，从$\epsilon$推导出来）因此

\[ \lvert a_nx^n \rvert = \lvert a_nx_0^n \rvert\lvert \frac x x_0\rvert^n<= M \cdot \lvert \frac x x_0\rvert^n \]

左右两项都是正项级数，右侧是收敛的p级数，其中p<1，所以，左侧收敛，得证。

注意，证明中没有直接使用比较法证明，因为幂级数可能是正负交替级数，不能直接用正项级数的收敛比较法。

这个定理说明了，幂级数的收敛域是一个以原点为中心点的圆形收敛域，并且在这个半径内，要么不收敛，一收敛就是绝对收敛，相对强的收敛。

8.2.2 收敛域定理

对于幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx_n$，如果

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \lvert \frac {a_{n+1}} {a_n} \rvert = \rho(0 <= \rho <= +\infty) \]

则可求得该幂级数的收敛半径如下：

当$0<\rho<+\infty$，该幂级数的收敛半径$R=\frac 1 \rho$
当$\rho=0$时，该幂级数的收敛半径$R=+\infty$
当$\rho=+\infty$时，该幂级数的收敛半径$R=0$

因为幂级数在半径内都是绝对收敛方式，可以将幂级数每一项都加绝对值，变成了正项级数，然后用正项级数的达朗比尔审敛法就可以证得结论了。

8.3 幂级数的性质

8.3.1 和函数的连续性

设幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n$的收敛半径$R>0$，则其和函数在收敛域上连续。

8.3.1 逐项积分

设幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$，则其和函数$s(x)$在收敛区间(-R,R)内部是可积的，并对一切的$x \in (-R ,R)$，有如下的逐项积分公式成立：

\[ \int_{0}^{x} s(t) dt = \int_{0}^{x} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^ndt = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_n t^n dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {a_n} {n+1} x^{n+1} \]

且逐项积分后所得的新幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {a_n} {n+1} x^{n+1}$与原幂级数数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$有相同的收敛半径。

8.3.2 逐项求导

设幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$，则其和函数$s(x)$在收敛区间(-R,R)内部是可导的，并对一切的$x \in (-R ,R)$，有如下的逐项求导公式成立：

\[ s'(x) dt = (\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n)' = \sum\limits_{n=0}^{\infty} ( a_n x^n)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty} na_nx^{n-1} \]

且逐项求导后所得的新幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$与原幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$有相同的收敛半径。

8.3.2 加减法

设幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$与$\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n$的收敛半径分别为$R_a,R_b$，其收敛域为$I_a,I_b$，如果$R_a \neq R_b$，则幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n \pm b_n)x^n$的收敛半径为$min\{R_a,R_b\}$，其收敛域为$I_a \cap I_b$，其在这个收敛域上恒有

\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n \pm \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n\pm b_n)x^n \]

加法的收敛性扩展到了幂级数上而已

8.3.3 乘法

设幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$与$\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n$的收敛半径分别为$R_a,R_b$，其收敛域为$I_a,I_b$，如果$R_a \neq R_b$，则这两个幂级数乘积的收敛域大于$r=min\{R_a,R_b\}$，其在(-r,r)上恒有

\[ (\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n) \cdot (\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots)x^n \]

幂级数上特有的乘法收敛特性，注意每一项系数不是直接相乘，而是首尾项相乘

8.4 函数幂级数

8.4.1 泰勒展开式

设幂级数

\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots \]

在区间$(-\delta,+\delta)$上的和函数f(x)，即

\[ f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots \]

则

\[ a_n = \frac {f^{(n)}(0)} {n!} (n=0,1,2,\cdots) \]

一阶泰勒公式就可以证明了，不难。

8.4.2 函数幂级数收敛性

设函数f(x)在点$x=x_0$的某个邻域$(x_0-\delta,x_0+\delta)$内具有任意阶导数，则f(x)在该邻域内可以展开成泰勒公式的充分必要条件是对于任何的$x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$，都有

\[ \lim\limits_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \]

证明：

因为幂级数收敛，所以$\lim\limits_{n \to \infty} R_n(x) = 0$收敛，必要性得证

因为$\lim\limits_{n \to \infty} R_n(x) = \lim\limits_{n \to \infty}[f(x)-s_{n+1}(x)] = 0$，所以，$\lim\limits_{n \to \infty} s_{n+1}(x) = f(x)$ 又因为f(x)是有限值所以，该泰勒展开的幂级数是收敛于固定值f(x)的。

注意这个定理说明了，只需余项趋向于0，泰勒幂级数就是收敛的。但对于一般无穷级数而言，这个是不成立，例如是调和级数。

8.4.3 欧拉公式

\[ e^{iy} = cosy + isiny \]

这个公式是从$e^x$的幂级数展开式中代入得到的，证明就省了，这个公式的伟大之处在于，它让复数产生重大的意义，能大幅简化关于三角函数的处理。

9 傅立叶级数

9.1 傅立叶级数

9.1.1 傅立叶级数

设以$2\pi$为周期的函数f(x)在$[-\pi,\pi]$可积，且可以表达为三角级数的形式，即

\[ f(x) = \frac {a_0} {2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) \]

则

\[ a_0 = \frac {1} {\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx \\ a_k = \frac {1} {\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)coskxdx(k=1,2,\cdots) \\ b_k = \frac {1} {\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)sinkxdx(k=1,2,\cdots) \]

证明：

首先有三角函数的正交性

\[ \int_{-\pi}^{\pi} cosnxdx = 0(n=1,2\cdots) \\ \int_{-\pi}^{\pi} sinnxdx = 0(n=1,2\cdots) \\ \int_{-\pi}^{\pi} sinkxcosnxdx = 0(n=1,2\cdots) \\ \int_{-\pi}^{\pi} coskxcosnxdx = 0(n=1,2\cdots;k\neq n) \\ \int_{-\pi}^{\pi} sinkxsinnxdx = 0(n=1,2\cdots;k\neq n) \\ \int_{-\pi}^{\pi} cos^2nxdx = \pi(n=1,2\cdots) \\ \int_{-\pi}^{\pi} sin^2nxdx = \pi(n=1,2\cdots) \\ \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx= 2\pi \\ \]

正交性说明了，只有在同一频率下的同一三角函数的积分才不为0，否则任意组合的三角函数的积分都是0。

所以，对两边直接积分

\[ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac {a_0} {2}dx + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\int_{-\pi}^{\pi} a_ncosnxdx+\int_{-\pi}^{\pi} b_nsinnxdx) \\ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = a_0\pi \\ a_0 = \frac 1 {\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx \]

所以证得首项，又

\[ f(x)coskx = \frac {a_0} {2}coskx + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_ncosnxcoskx+b_nsinnxcoskx) \\ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)coskxdx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac {a_0} {2}coskxdx + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\int_{-\pi}^{\pi} a_ncosnxcoskxdx+\int_{-\pi}^{\pi}b_nsinnxcoskxdx) \\ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)coskxdx = 0 + (\int_{-\pi}^{\pi} a_kcoskxcoskxdx \\ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)coskxdx = a_k\pi \\ a_k = \frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)coskxdx \]

同理，可以证得

\[ b_k = \frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)sinkxdx \]

所以，任意函数转为傅立叶级数时，系数如上所述，得证。

傅立叶级数的几何意义在于，任意一个$2\pi$为周期的函数都可以用多个正弦波和余弦波来逼近。更进一步来说，任意一个以时域的函数，都可以用频率域函数来描述，频率域函数就是不同频率的正弦波和余弦波，它开辟了一条从频率域分析函数的途径。

9.1.2 傅立叶级数的收敛性

设f(x)是以$2\pi$为周期的函数，如果它满足条件

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
在一个周期内至多只有有限个极值点

则函数f(x)的傅立叶级数收敛。并且当x时函数f(x)的连续点时，级数收敛于f(x);当x时函数f(x)的间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值$\frac {f(x-0)+f(x+0)} {2}$

从定理中可以看出，傅立叶级数的收敛条件要弱得多，它只需要周期内可积，有限个间断点和极值点就可以了，甚至不需要可导。该条件也被称为狄利克雷条件。

9.2 傅立叶级数的形式

9.2.1 正弦级数和余弦级数

设函数f(x)的周期为$2\pi$，且满足狄利克雷条件。

如果f(x)的奇函数，则它的傅立叶级数为正弦级数，且在几乎处处的意义下

\[ f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n sinnx \\ b_n = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{\pi}f(x)sinnxdx(n=1,2,\cdots) \]

如果f(x)的偶函数，则它的傅立叶级数为余弦级数，且在几乎处处的意义下

\[ f(x) = \frac {a_0} {2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n cosnx \\ a_n = \frac {2}{\pi} \int_{0}^{\pi}f(x)cosnxdx(n=1,2,\cdots) \]

这个形式是当函数是奇函数，或偶函数时的特殊的傅立叶级数形式，直接套傅立叶公式就可以证明了。

9.2.2 一般周期的傅立叶级数

设f(x)是以$2l$为周期的函数，且在$[-l,l]$上满足狄利克雷条件，则在几乎处处的意义下，它的傅立叶级数展开式为

\[ f(x) = \frac {a_0} {2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_ncos\frac{n\pi x}{l} + b_n sin\frac {n \pi x}{l}) \\ a_n = \frac {1} {l} \int_{-l}^{l} f(x)cos \frac {n \pi x} {l} dx \\ b_n = \frac {1} {l} \int_{-l}^{l} f(x)sin \frac {n \pi x} {l} dx \\ \]

这个是将傅立叶级数扩展到非$2\pi$周期下的形式，证明的方法很简单，进行坐标系变换，让$t = \frac {x} {l}\cdot \pi$，这样t函数就是标准的$2\pi$为周期的傅立叶级数了，套出系数后再代回就可以了。

9.2.3 复数的傅立叶级数

设f(x)是以$2l$为周期的函数，且在$[-l,l]$上满足狄利克雷条件，则在几乎处处的意义下，它的傅立叶级数的复数展开式为

\[ f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{i^{\frac {n\pi x} {l}}} \\ c_n = \frac {1} {2l} \int_{-l}^{l}f(x) e^{-i^{\frac {n\pi x} {l}}}dx(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots) \]

证明的方法就是将欧拉公式套入到傅立叶级数公式上就可以了，直接简单。注意的是，复数形式的级数统一了傅立叶cos与sin的三角函数，直接用一项就表达了整个式子，所以这个方法简单易记，更多会使用。

9.3 傅立叶变换

9.3.1 傅立叶积分

若定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数f(x)满足

f(x)在任何有限区间上满足狄利克雷条件
$\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert f(x)\rvert dx$收敛

则积分

\[ \frac {1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt)e^{i\omega x}d(\omega) \]

在函数f(x)的连续点x处收敛于f(x)，在函数f(x)的间断点x处收敛于$\frac {f(x-0)+f(x+0)} {2}$

证明略

傅立叶积分实际上是将傅立叶级数的周期从2T逼近到$+\infty$的结果，其将傅立叶级数从周期函数的适用范围推广到任意的函数，甚至该函数完全不具有周期性。

9.3.2 傅立叶变换

从傅立叶积分中，可以看出内外两层的方程式都很相似，所以，我们有

\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx \\ F(t) = \frac {1} {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}f(\omega)e^{i\omega t}d{\omega} \]

前一个函数为傅立叶变换，记为$\mathscr{F}$，第二个函数称为傅立叶反变换，记为$\mathscr{F}^{-1}$

所以，傅立叶积分可以写为

\[ f(x) = \mathscr{F}^{-1}[\mathscr{F}[f(x)]] \]

9.4 傅立叶变换的性质

9.4.1 卷积

给定两个函数$f_1(t)$和$f_2(t)$，按照下面的积分确定一个新的函数

\[ g(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\varsigma)f_2(t-\varsigma)dx \]

称为$f_1(t)$和$f_2(t)$的卷积,记作$f_1(t)* f_2(t)$

卷积的定义很是抽象，我们来逐步来看一下

\[ g(0) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\varsigma)f_2(0-\varsigma)dx \\ g(1) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\varsigma)f_2(1-\varsigma)dx \\ g(2) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\varsigma)f_2(2-\varsigma)dx \]

从例子可以看出，g(x)相当于，先将$f_2(t)(x)$对y轴作镜像，然后往右边沿x轴移动x个单位，然后和$f_1(t)$图像每个点都想乘后，取积分得来的。

如果将$f_2(t)$看成原函数，$f_1(t)$看成函数的滤波，$g(x)$就是相当于用$f_2(t)$的x作为中心位置与$f_1(t)$做加权叠加的过程。

卷积有以下运算性质

交换律: $f_1(t)*f_2(t) = f_2(t)*f_1(t)$
结合律：$[f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t) = f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]$
分配律：$[f_1(t)+f_2(t)]*f_3(t) = f_1(t)*f_3(t)+f_2(t)*f_3(t)$

结合傅立叶变换，卷积有以下定理

设$\mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega),\mathscr{F}(f_2(t))=F_2(\omega)$,则

\[ \mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)] = F_1(\omega) \cdot F_2(\omega) \\ \mathscr{F}'[F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)] = f_1(t) * f_2(t) \]

这个定理说明了卷积可以通过，两个函数傅立叶变换的直积后反变换得到，这大大加快了整个卷积的算法效率。所以，傅立叶经常用在了加快卷积的计算上，卷积的应用包括图像滤波，大数相乘。

9.4.2 微分

设$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]$，且$\lim\limits_{t\to \pm \infty}f(t) = 0$，则

\[ \mathscr{F}[f'(t)] = i\omega F(\omega) \]

这个定理指出，求导仅仅就是该函数的傅立叶变换乘以$i\omega$再取反变换就可以了！

9.4.3 积分

设$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]$，且$g(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\varsigma)d\varsigma$，且$\lim\limits_{t \to + \infty}g(t) = 0$，则

\[ \mathscr{F}[g(t)] = \frac 1 {i \omega} F(\omega) \]

这个定理指出，积分仅仅就是该函数的傅立叶变换除以$i\omega$再取反变换就可以了！看，积分和微分问题被傅立叶变换变为一个乘法和除法的问题，相当巧妙。

10 总结

整个下册的书本都比上册的书本要难得多，很多定理的证明都是超纲的，还好的是，书本的定理大多可以用直观来弥补证明的部分。特别要注意以下的几个重点：

全微分和偏导数作为一个算子，它们的计算法则
重积分与曲线积分的区别
梯度，散度和旋度的区别与作用
幂级数和傅立叶级数的本质和应用范围

本文作者： fishedee

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《高等数学下册》的读书笔记之二