6 积分
6.1 不定积分的定义
6.1.1 原函数的定义
设函数\(f(x)\)是区间\(I\)上定义的一个函数。如果存在一个在区间\(I\)上可微函数\(F(x)\)，其导数
\[ F'(x) = f(x), x \in I \]
则称\(F(x)\)为\(f(x)\)在区间\(I\)上的一个原函数
6.1.2 不定积分的定义
在区间\(I\)上，函数\(f(x)\)的所有原函数\(F(x)+C\)称为\(f(x)\)的不定积分，记为\(\int f(x) dx\)，即
\[ \int f(x) dx =F(x)+C \]
其中\(C\)是任意常数，符号\(\int\)称为积分号，\(f(x)\)称为被积函数，\(f(x)dx\)称为被积表达式，\(x\)称为积分变量
从定义中可以看出，积分是微分的逆运算，从微分求原函数就是积分操作
6.2 不定积分的运算
- \(\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)
- \(\int k f(x)dx = k \int f(x)dx\)，其中k为非零常数
6.3 不定积分的计算
6.3.1 第一换元法
设函数\(f(x)\)可以看作是\(g(u)\)与\(h(x)\)复合函数，以及\(m(x)\)的乘积，则有
\[ \begin{align} \int f(x) dx &= \int g[h(x)]m(x)dx \\ &=\int g[h(x)]\cdot k \cdot h'(x)dx \\ &= k\int g[h(x)] h'(x) dx \\ &= kG[h(x)]\end{align} \]
第一换元法，又称为凑元积分法，主要思路就是将\(f(x)\)看成两个函数的复合，然后就只需要求外层函数的积分就可以了
6.3.2 第二换元法
设函数\(f(x)\)，且令\(t=\varphi(t)\)，则有
\[ \begin{align} \int f(x) dx &= \int f[\varphi(t)] d[\varphi(t)] \\ &= \left. F\Phi(t)\right\vert_{t=\varphi^-1(x)}\\ &= F\Phi(\varphi^-1(x))\end{align} \]
第二换元法，又称为代入法，主要思路就是直接将x用\(\varphi(t)\)来代替，使得被积函数转化为另外一个函数，然后直接求另外一个被积函数，然后再将\(t\)替换为\(\varphi^-1(x)\)就可以了
6.3.3 分部积分法
设函数\(u\)与\(v\)，由于
\[ \because d(uv) = udv + vdu \\ \therefore \int d(uv) = \int udv + \int vdu \\ uv = \int udv + \int vdu \\ \int udv = uv - \int vdu \]
分部积分法，主要思路就是直接将积分函数与积分变量调转，从而简化整个积分
6.3.5 有理函数的积分
如果要求类似这样函数的积分
\[ \frac {P(x)} {Q(x)} = \frac {a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n} {b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_m} \]
则将这个有理函数转换为
\[ \frac {P(x)} {Q(x)} = \frac {a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n} {(x-a)^k\cdots(x-b)^t(x^2+px+q)^l\cdots(x^2+rx+s)^h} \\ = \frac {A_1} {x-a} + \frac {A_2} {(x-a)^2}+\cdots+\frac {A_k} {(x-a)^k}+\cdots \\ \frac {B_1} {x-b} + \frac {B_2} {(x-b)^2}+\cdots+\frac {B_t} {(x-b)^t}+\cdots \\ \frac {C_1x+D_1} {x^2+px+q}+ \frac {C_2x+D_2} {(x^2+px+q)^2}+\cdots +\frac {C_lx+D_l} {(x^2+px+q)^l}+\cdots\\ \frac {E_1x+F_1} {x^2+rx+q} + \frac {E_2x+F_2} {(x^2+rx+q)^2} +\cdots + \frac {E_hx+F_h} {(x^2+rx+q)^h} \]
其中A,B,C,D都是常数，然后用待定系数法求出这些常数就可以了。然后每一项用幂函数积分或 arctan积分就可以算出每一项的积分了
6.3.6 三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指对三角函数进行有限次加减乘除所得的表达式，这种情况下，套万能公式
\[ t = tan \frac x 2 \\ sinx = \frac {2tan\frac x 2} {1+tan^2 \frac x 2} \\ cosx = \frac {1-tan^2 \frac x 2} {1+tan^2 \frac x 2} \]
就可以了
6.3.7 根式的积分
如果函数包含有像\(\sqrt[n] \frac {ax+b} {cx+d}\)或\(\sqrt[n] {ax+b}\)的根式，求积分时可以
\[ t = \sqrt[n] \frac {ax+b} {cx+d} \\ t = \sqrt[n] {ax+b} \]
的换元法就可以了
6.4 积分公式
- $0dx = C $
- \(\int kdx = kx +C\)，k为常数
- $x^udx = {u+1} +C \(，(\) u neq -1 $)
- \(\int \frac 1 x dx = ln\lvert x \rvert +C\)
- \(\int a^x dx = \frac {a^x} {lna} +C\)
- \(\int \frac {dx} {1+x^2} = arctan x + C\)
- \(\int \frac {dx} {1-x^2} = arcsinx + C\)
- \(\int cosx dx = sinx +C\)
- \(\int sinx dx = -cosx +C\)
牢记这些积分公式就可以了
7 定积分
7.1 定积分的定义
7.1.1 定积分的定义
设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，在区间\([a,b]\)任意插入\(n-1\)个分点
\[ a = x_0<x_1<\cdots<x_n=b \]
把区间\([a,b]\)分成\(n\)个小区间
\[ [x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n] \]
记\(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\)(i=\(1,2,\cdots,n\))为第i个小区间的长度，在每个小区间\([x_{i-1},x_i]\)上任取一点\(\xi\)(\(x_{i-1}<=\xi<x_{i}\))，作乘积\(f(\xi)\Delta x_i\)，(\(i=1,2,\cdots,n\))，并作和式
\[ S = \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i \]
记\(\lambda =max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta X_n\}\)，若不论对\([a,b]\)怎样分法，也不论在小区间\([x_{i-1},x_i]\)上点\(\xi\)怎样取法，只要当\(\lambda \to 0\)时，\(S\)的极限\(I\)总存在，这时我们称\(I\)为函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分，记作
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = I = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i \]
注意定积分的概念其实就是无限个无穷小的和，另外，定义中没有要求划分的区间是平分的
7.1.2 定积分的几何意义
定积分\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)在几何上表示由曲线\(y=f(x)\),\(x=a\),\(x=b\)及\(x\)轴所围成的曲边梯形的面积，当\(f(x) <= 0\)时，围成的曲边梯形位于\(x\)轴下方，定积分\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)在几何上表示曲边梯形面积的负值;若\(f(x)\)在\([a,b]\)上既取得正值，又取得负值时，定积分\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)的几何意义是：它是介于\(x\)轴，曲线\(y=f(x)\),\(x=a\),\(x =b\)之间的各部分曲边梯形面积的代数和
这是显然的
7.2 定积分的运算
- \(\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx\)
- \(\int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx\)，(k是常数)
- \(\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx\)
套入定义就能证明了
7.3 积分中值定理
7.3.1 积分比较定理
设\(f(x) <= g(x)\),\(x\in{a,b}\)，则
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx <= \int_{a}^{b} g(x)dx \]
这是显然的
7.3.2 积分估值定理
设\(M\)及\(m\)分别是函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的最大值和最小值，则
\[ m(b-a) <= \int_{a}^{b} f(x) dx <= M(b-a) \]
直接套积分比较定理就能证明了
7.3.3 定积分中值定理
设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，则在积分区间\([a,b]\)上至少存在一点\(\xi\)，使得
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = f(\xi)(b-a) \]
其中\(a<=\xi<=b\)
证明：
从积分估值定理中可以可以知道\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)是位于\([m(b-a),M(b-a)]\)之间的，也就是说\(\frac {\int_{a}^{b} f(x)dx} {b-a}\)是位于\([m,M]\)之间，同时m与M是\(f(x)\)的最大值与最小值，根据介值定理，f(x)必然能取得到\([m,M]\)中得任意一个数值，当然也就包括\(\frac {\int_{a}^{b} f(x)dx} {b-a}\)了
所以得证，注意，这个不显眼的定理，是沟通积分与原函数的桥梁。同时，比较一下微分中值定理，与定积分中值定理，它们的证明依然是离不开介值定理呀
7.4 牛顿-莱布尼茨公式
7.4.1 变上限积分公式
如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，则积分上限函数\(\Phi=\int_{a}^{x} f(t)dt\)在\([a,b]\)上可导，且导数为
\[ \Phi'(x) = f(x) (a<= x <= b) \]
证明
\[ \begin{align} \Phi'(x) &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {\Phi(x+\Delta x) - \Phi(x)} {\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt-\int_{a}^{x} f(t)dt} {\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt} {\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {f(\xi)\Delta x} {\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} f(\xi) \\ &= f(x) \end{align} \]
所以得证，显然，这个是定积分与不定积分的沟通桥梁，这也解释了为什么定积分与不定积分的符号为什么这么像!
7.4.2 牛顿-莱布尼茨公式
设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，函数\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，则有
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]
直接套变上限积分公式就可以了，这个定理揭示了定积分与不定积分的计算关系
7.4 定积分的计算
7.4.1 第一换元法
直接用不定积分求原函数，然后代入上下限就可以了
7.4.2 第二换元法
如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续且函数\(x=\varphi(t)\)满足下列条件
- \(\varphi(\alpha) =a,\varphi(\beta)=b\)
- 在\([\alpha,\beta]\)，\(\varphi(t)\)具有连续导数且值域\(R_{\varphi} \in [a,b]\)
则有
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt \]
这是显然的，这就是说，使用第二换元法时，必须要记得将积分上下限也替换掉
7.4.3 分部积分法
若函数\(u=u(x),v=v(x)\)在闭区间\([a,b]\)上具有连续导数，则有
\[ \int_{a}^{b} udv = \left.uv \right\vert_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v du \]
这也是显然的，使用分部积分法时，记得将\(uv\)也要积分上下限相减
7 微分方程
7.1 微分方程
微分方程，就是形似\(F(y',y,x)=0\)的方程，既有导数，也有原函数，也有自变量关系的方程，求出原方程出来
未知函数是一元函数的，叫做常微分方程，未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程
7.2 可分离变量方程
一阶微分方程有时也可以写成如下的对称形式
\[ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 \]
若\(P(x,y)\)与\(Q(x,y)\)都可以表示为两个一元函数的乘积
\[ g(y)dy=f(x)dx \]
方程的一端只包含y的函数和dy，另外一端只包含x的函数和dx，则只需要两端直接积分就可以消去dy与dx了
注意，这个是求解微分方程的唯一入口，其他解法都是转化到这一步上，然后在套这里公式来求解的
7.3 齐次方程
7.3.1 齐次方程
如果一阶微分方程有时可以写为
\[ \frac {dy} {dx} = f(x,y) \]
如果\(f(x,y)\)可写为\(\varphi(\frac {y} {x})\)的函数，即
\[ \frac {dy} {dx} = \varphi(\frac {y} {x}) \]
则引入
\[ u = \frac {y} {x} \]
进行变量替换就可以了，就可以变为
\[ \frac {dy} {dx} = f(x,y) \\ \frac {d(ux)} {dx} = \varphi(u) \\ \frac {udx+xdu} {dx} = \varphi(u) \\ u + x \frac {du} {dx} = \varphi(u) \]
这时候再套分离变量积分法就可以了
7.3.2 有理式的齐次方程
若方程
\[ \frac {dy} {dx} = \frac {ax+by+c} {Ax+By+C} \]
如果\(c=C=0\)，那么直接上下除\(x\)就变为齐次方程，如果\(c \neq 0\)或\(C \neq 0\)，那么
\[ x = X+h \\ y = Y+k \]
然后代入方程，让常数项去掉就可以了，就可以转换为齐次方程了。这里的变换实质上就是进行坐标系变换，让多余项消去
7.4 一阶线性微分方程
7.4.1 一阶线性齐次方程
若方程满足
\[ \frac {dy} {dx} + P(x)y = 0 \]
则该方程称为一阶线性齐次方程，显然，这样的方程可直接用可分离方程来求解，求得结果为
\[ y = Ce^{-\int P(x)dx} \]
其中\(C=\pm e^{C_1}\)
7.4.3 一阶线性非齐次方程
若方程满足
\[ \frac {dy} {dx} + P(x)y = Q(x) \]
则该方程称为一阶线性非齐次方程，我们可以用常数变易法
\[ y = ue^{-\int P(x)dx} \]
然后代入到原方程中，即可求得
\[ u = \int Q(x)^{\int P(x)dx}dx+C \]
所以，最终结果为
\[ y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)^{\int P(x)dx}dx+C) \]
主要思路就是先求出一阶线性非齐次方程对应的一阶线性齐次方程，然后将常数项变为未知函数，然后代入原方程来求得未知函数。
7.5 二阶线性微分方程
7.5.1 二阶线性齐次方程
若方程满足
\[ y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \]
则该方程称为二阶线性齐次方程，如果知道其中一个非零接为\(y_1(x)\)，那么
\[ y_2(x) = y_1(x)\int \frac {1} {y_1^2(x)} e^{- \int P(x)dx}dx \]
所以，该方程的通解为
\[ Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \]
证明方法就是用常数变易法，令
\[ y_2(x) = uy_1(x) \]
代入原方程中就能求解了
7.5.2 二阶线性非齐次方程
若方程满足
\[ y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x) \]
则该方程称为二阶线性非齐次方程，如果该方程对应的二阶线性齐次方程的解为\(y_1(x)\)与\(y_2(x)\)，则用常数变易法求方程的特解为
\[ y = y_1(x)v_1+y_2(x)v_2 \]
然后联立方程
\[ y_1v_1'+y_2v_2'=0 \\ y_1'v_1'+y_2v_2'= f(x) \]
最后求得\(v_1\)与\(v_2\)，然后代入特解公式即可
7.5.3 二阶常系数齐次方程
若方程满足
\[ y''+py'+qy=0 \]
其中\(p\)与\(q\)均为常数，则称该方程为二阶常系数齐次方程，然后列出特征方程
\[ r^2+pr+q=0 \]
则方程的解为
- 特征方程有两个不同解为\(r_1\)与\(r_2\)，结果为\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
- 特征方程有两个相同解为\(r_1\)，结果为\(y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}\)
- 特征方程有两个复数解为\(r_1=\alpha+i\beta\)与\(r_2=\alpha-i\beta\)，结果为\(y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)\)
7.5.4 二阶常系数非齐次方程
若方程满足
\[ y''+py'+qy=f(x) \]
其中\(p\)与\(q\)均为常数，则称该方程为二阶常系数非齐次方程，这里可以直接套7.5.2公式就能算出特接了，不需要记太多公式
7.6 欧拉方程
若方程形如
\[ x^2p''+pxy'+qy=f(x) \]
则称该方程为欧拉方程，我们令
\[ t = lnx \]
即可将该方程转为一阶线性方程了
7.7 可降阶方程
7.7.1 伯努利方程
若方程满足
\[ \frac {dy} {dx} + P(x)y = Q(x)y^n \]
则该方程称为伯努利方程，那么
\[ y^{-n}\frac {dy} {dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x)\\ \frac {dy^{1-n}} {dx} \cdot \frac {1} {(1-n)y^{-n}} + P(x)y^{1-n} = Q(x) \]
然后令\(t=y^{1-n}\)作变量替换就可以了
7.7.2 y^n=f(x)
若方程满足
\[ y^{n} = f(x) \]
则令
\[ t = y^n \]
即可
7.7.3 y’’ = f(x,y’)
若方程满足
\[ y'’ = f(x,y') \]
则令
\[ t = y' \\ y'' = \frac {dy'} {dx} = \frac {dt} {dx} \]
即可
7.7.4 y’’ = f(y,y’)
若方程满足
\[ y'’ = f(y,y') \]
则令
\[ t = y' \\ y'' = \frac {dy'} {dx} = \frac {dy'} {dy} \frac {dy} {dx} = t \frac {dt} {dy} \]
即可，注意跟上一条的对\(y''\)不同处理方式
8 总结
整本书的重点有
- 用微分和积分来分析一个函数
- 微分和积分作为一个算子，它们的运算法则
- 本文作者： fishedee
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